Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax（a为常数），f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（lna+x）＞f（lna-x）；
（Ⅲ）已知f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：${f^/}（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜0$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调性，
（Ⅱ）（x）=f（lna+x）-f（lna-x），求导，根据函数的单调性即可证明，
（Ⅲ）由（I）知，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，设A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，则0＜x₁＜lna＜x₂．由（II）得f（2lna-x₁）=f（lna+lna-x₁）＞f（x₁）=0，再利用函数的单调性即可证明．

解答 证明：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x-a．
当a≤0时，则f′（x）=e^x-a＞0，即f（x）在R上是增函数，
当a＞0时，由f′（x）=e^x-a=0，得x₀=lna．
当x∈（-∞，x₀）时，f′（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0．
即f（x）在（-∞，lna）上是减函数，在（lna，+∞）上是增函数，
（Ⅱ）证明：设g（x）=f（lna+x）-f（lna-x）（x＞0）=[e^lna+x-a（lna+x）]-[e^lna-x-a（lna-x）]=a（e^x-e^-x-2x），
∴g′（x）=a（e^x+e^x-2）≥2a$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-2a=0，
当且仅当x=0时等号成立，但x＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，所以g（x）＞g（0）=0
∴不等式f（x₀+x）＞f（x₀-x）恒成立．
（Ⅲ）由（I）知，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最小为f（lna），且f（lna）＜0．
设A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，则0＜x₁＜lna＜x₂．
由（II）得f（2lna-x₁）=f（lna+lna-x₁）＞f（x₁）=0．
∵2lna-x₁=lna+（lna-x₁）＞lna，x₂＞lna，且f（x）在（lna，+∞）上是增函数
又f（2lna-x₁）＞0=f（x₂），
∴2lna-x₁＞x₂．于是$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜lna，
∵f（x）在（-∞，lna）上减函数，
∴$f'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜0$．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，关键是构造函数，培养了学生的运算能力和转化过程，属于中档题．