Question

4．设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₃=3a₃+2a₂，a₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=log₂a_n，求{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，根据已知条件和等比数列的通项公式求得q的值，则a_n=a₄q^n-4；
（Ⅱ）由b_n=|log₂a_n|，a_n=2^n-7，知b_n=|log₂2^n-7|=|n-7|，由此能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ） 设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0．
由已知S₃=3a₃+2a₂有2a₃+a₂-a₁=0，即$2{a_1}{q^2}+{a_1}q-{a_1}=0$，
∴2q²+q-1=0故$q=\frac{1}{2}$或q=-1（舍）
∴${a_n}={a_4}×{q^{n-4}}={（{\frac{1}{2}}）^{n-7}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=7-n故当n≤7时，b_n≥0
∴当n≤7时，${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{{n（{{b_1}+{b_n}}）}}{2}=-\frac{n^2}{2}+\frac{13n}{2}$
当n＞7时，T_n=b₁+b₂+…+b₇-（b₈+b₉+…+b_n）
=2（b₁+b₂+…+b₇）-（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{13n}{2}$+42，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{13n}{2}（0＜n≤7）}\\{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{13n}{2}+42（n＞7）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．