Question

1．已知f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$；g（x）=1-x+$\frac{x^2}{2}$-$\frac{x^3}{3}$+$\frac{x^4}{4}$-…-$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$；设函数F（x）=[f（x+3）]²⁰¹⁵•[g（x-4）]²⁰¹⁶，且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 求出f′（x）＞0，得到函数f（x）在（-1，0）内有唯一零点，从而[f（x+3）]²⁰¹⁵在（-4，-3）上有唯一零点；求了g′（x）=-f′（x）＜0，得到g（x）在（1，2）上有唯一零点，从而[g（x-4）]²⁰¹⁶在（5，6）上有唯一零点．由此能求出（b-a）_min．

解答 解：∵f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，
∴f′（x）=（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹⁴
=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹²）+x²⁰¹⁴
当x=-1时，f′（x）=2×1007+1=2015＞0，
当x≠-1时，f′（x）=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹²）+x²⁰¹⁴
=（1-x）•$\frac{1-（{x}^{2}）^{1007}}{1-{x}^{2}}$+x²⁰¹⁴
=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
∴f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$在R上单调递增，
∴f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$-…-$\frac{1}{2015}$＜0，
∴函数f（x）在（-1，0）内有唯一零点，
由-1＜x+3＜0得：-4＜x＜-3，
∴f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零点．
∴[f（x+3）]²⁰¹⁵在（-4，-3）上有唯一零点，
∵g（x）=1-x+$\frac{x^2}{2}$-$\frac{x^3}{3}$+$\frac{x^4}{4}$-…-$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，
∴g′（x）=（-1+x）+（-x²+x³）+…-x²⁰¹⁵
=-[（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹⁵]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减，
又g（1）=1-1$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…-\frac{1}{2015}$＞0，
g（2）=$1-2+\frac{{2}^{2}}{2}-\frac{{2}^{3}}{2}+…+\frac{{2}^{2014}}{2014}-\frac{{2}^{2015}}{2015}$＜0，
当n≥2时，$\frac{{2}^{n}}{n}-\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$=$\frac{{2}^{n}（1-n）}{n（n+1）}$＜0，
∴g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，
由1＜x-4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x-4）在（5，6）上有唯一零点．
∴[g（x-4）]²⁰¹⁶在（5，6）上有唯一零点．
∵F（x）=[f（x+3）]²⁰¹⁵•[g（x-4）]²⁰¹⁶，
∴F（x）的零点即为[f（x+3）]²⁰¹⁵和[g（x-4）]²⁰¹⁶的零点．
∴F（x）的零点区间为（-4，-3）∪（5，6）．
又b，a∈Z，
∴（b-a）_min=6-（-4）=10．
故选：C．

点评 本题考查两数差的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数、零点、导数等知识点的综合运用．