Question

20．已知函数f（x）=|x+a|+|x-1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥x+3a的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，1]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，求得不等式f（x）≥x+3a的解集．
（2）由题意可得，当x∈[0，1]时，|x+a|+|x-1|≤|x-4|恒成立，等价于-3-a≤x≤3-a，根据-3-a≤0，3-a≥1，求得a的范围．

解答 解：（1）当a=3时，不等式f（x）≥x+3a，即f（x）≥x+9，
当x≤-3时，由-2x-2≥x+9，解得x≤-$\frac{11}{3}$；
当-3＜x＜1时，由4≥x+9，解得x≤-5，故不等式无解；
当x≥1时，由2x+2≥x+9，解得x≥7．
综上，f（x）≥x+3a的解集为（-∞，-$\frac{11}{3}$）∪（7，+∞）． …（5分）
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，1]，即当x∈[0，1]时，|x+a|+|x-1|≤|x-4|恒成立，
即|x+a|≤|x-4|-|x-1|恒成立，
等价于-3-a≤x≤3-a．
由题意可得，-3-a≤0，3-a≥1，求得-3≤a≤2，
故满足条件的a的取值范围为[-3，2]．…（10分）

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．