Question

10．已知f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$（a，b为常数）是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，结合f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$，可求出a，b值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）直接利用函数单调性的定义进行证明，设在（-1，1）上任取两个数x₁，x₂，且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，从而得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$（a，b为常数）是定义在（-1，1）上的奇函数，
且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}a+b}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{1}{2}$a+b=1，①，
f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{-\frac{1}{2}a+b}{1+\frac{1}{4}}$=-$\frac{4}{5}$，即-$\frac{1}{2}$a+b=-1，②，
由①②解得：a=2，b=0，
故f（x）=$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$；
（2）任取任取两个数x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2x}_{1}}{1{{+x}_{1}}^{2}}$-$\frac{{2x}_{2}}{1{{+x}_{2}}^{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{-x}_{1}{•x}_{2}）}{（1{{+x}_{1}}^{2}）（1{{+x}_{2}}^{2}）}$＜0
因为x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，1-x₁•x₂＞0
则f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在（-1，1）上单调递增．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的证明，解题的关键是化简判定符号，同时考查了运算求解的能力．