Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）图象的一个对称中心为（$\frac{π}{12}$，0），且图象上相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（α+$\frac{3π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和三角函数图象特点可得周期，可得ω=2，代点计算可得φ=-$\frac{π}{6}$，可得解析式为f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）根据正弦函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可；
（3）由题意可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，由同角三角函数基本关系可得cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，代入cos（α+$\frac{3π}{2}$）=sinα=sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（α-$\frac{π}{6}$）计算可得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）图象的一个对称中心为（$\frac{π}{12}$，0），
∴$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{12}$ω+φ）=0，又图象上相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴周期T满足T=$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，解得ω=2，∴$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，
结合-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$可得φ=-$\frac{π}{6}$，故f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）由f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
故函数f（x）的递减区间是：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]；
（3）∵f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
又$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，∴0＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，故cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos（α+$\frac{3π}{2}$）=sinα=sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（α-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$．

点评 本题考查三角函数解析式的求解和三角函数公式，属中档题．