Question

6．已知函数f（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2．
（1）求a，b的值；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞-x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数图象开口向上，对称轴x=2，故f（x）在[0，1]递减；进而根据在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2，可得a，b的值；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞-x+m恒成立，函数g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=a（x²-4x）+b=a（x-2）²+b-4a
∵a＞0，
∴函数图象开口向上，对称轴x=2，
∴f（x）在[0，1]递减；
∴f（0）=b=1，且f（1）=b-3a=-2，
∴a=b=1；
（2）f（x）＞-x+m等价于x²-4x+1＞-x+m，
即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，1]上恒成立，
只需使函数g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0即可．
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=-m-1，由-m-1＞0得，m＜-1．
因此满足条件的实数m的取值范围是（-∞，-1）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．