Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，F是BC的中点，且PA=BC=2AB=2．
（1）求证：CD⊥PA
（2）线段PA是否存在一点E，使得EF∥平面PCD？若有，请找出具体位置，并加以证明，若无，请分析说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据PA⊥底面ABCD可以推知CD⊥PA；
（2）当E是PA的中点时，EF∥平面PCD．如图，取PD的中点G，连接EG、CG，构建平行四边形EFCG，结合平行四边形的对边相互平行的性质和线面平行的性质证得结论EF∥平面PCD．

解答 证明：（1）又因为PA⊥底面ABCD，
CD?底面ABCD，所以CD⊥PA；
解：（2）当E是PA的中点时，EF∥平面PCD，
取PD的中点G，连接EG、CG，
又因为E、F分别是PA、BC的中点，底面ABCD为矩形，
所以EG∥AD∥FC且EG∥$\frac{1}{2}$AD∥FC，
所以四边形EFCG是平行四边形，
所以EF∥GC．
又因为EF?平面PCD，GC?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．

点评 本题以底面为长方形、一条侧棱垂直于底的四棱锥为载体，通过证明线面平行、垂直，着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．