Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn（k∈N^*），且S_n的最大值为8．
（1）求常数k的值，并求a_n；
（2）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（-4^m，-2^m）内的项的个数记为b_m，若c_m=$\frac{{a}_{m}•{b}_{m}}{{2}^{m}}$，求数列{c_n}的前m项和T_m．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的性质可知，当n=k时，S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn取得最大值，代入可求k，然后利用a_n=s_n-s_n-1可求通项
（2）根据已知条件推知b_m=（4^m+$\frac{9}{2}$）-（2^m+$\frac{9}{2}$）=4^m-2^m，则结合（1）中的通项公式和已知条件c_m=$\frac{{a}_{m}•{b}_{m}}{{2}^{m}}$得出：c_m=（$\frac{9}{2}$-m）×2^m-（$\frac{9}{2}$-m），然后利用分组求和法来求数列{c_n}的前m项和T_m．

解答 解：（1）∵S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn=-$\frac{1}{2}$（n-k）²+$\frac{{k}^{2}}{2}$，
∴当n=k时，（S_n）_max=$\frac{{k}^{2}}{2}$=8，
解得k=4，
∴S_n=-$\frac{1}{2}$n²+4n，
当n=1时，a₁=S₁=$\frac{7}{2}$，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=$\frac{9}{2}$-n，
显然a₁=$\frac{7}{2}$适合a_n=$\frac{9}{2}$-n，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{9}{2}$-n（n∈Z⁺）；
（2）依题意有-4^m＜$\frac{9}{2}$-n＜-2^m，则2^m+$\frac{9}{2}$＜n＜4^m+$\frac{9}{2}$，
又m∈Z⁺，
∴b_m=（4^m+$\frac{9}{2}$）-（2^m+$\frac{9}{2}$）=4^m-2^m，
∴c_m=$\frac{{a}_{m}•{b}_{m}}{{2}^{m}}$=$\frac{（\frac{9}{2}-m）（{4}^{m}-{2}^{m}）}{{2}^{m}}$=（$\frac{9}{2}$-m）×2^m-（$\frac{9}{2}$-m），且a_m=$\frac{9}{2}$-m，前m项和为：A_m=$\frac{m（\frac{7}{2}+\frac{9}{2}-m）}{2}$=$\frac{-{m}^{2}+8m}{2}$；
令t_m=（$\frac{9}{2}$-m）×2^m，前m和为记为：B_m，
则B_m=$\frac{7}{2}$×2+$\frac{5}{2}$×2²+$\frac{3}{2}$×2³+$\frac{1}{2}$×2⁴+…+（$\frac{9}{2}$-m）×2^m，①
∴2B_m=$\frac{7}{2}$×2²+$\frac{5}{2}$×2³+$\frac{3}{2}$×2⁴+$\frac{1}{2}$×2⁵+…+（$\frac{9}{2}$-m）×2^m+1，②
∴由①-②得：-B_m=$\frac{7}{2}$×2-（2²+2³+2⁴+…+2^m）-（$\frac{9}{2}$-m）×2^m+1=7-$\frac{4-{2}^{m+1}}{1-2}$-（$\frac{9}{2}$-m）×2^m+1=11-（11-2m）×2^m，
∴B_m=（11-2m）×2^m-11
∴T_m=B_m-A_m=（11-2m）×2^m-11-$\frac{-{m}^{2}+8m}{2}$=（11-2m）×2^m+$\frac{{m}^{2}-8m-22}{2}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属于等差数列与等比数列基本运算的综合应用．