Question

14．已知矩形ABCD中，AB=2BC，若椭圆的焦点是AD，BC的中点，且点A，B，C，D在椭圆上，则该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可知：设AB=4t，CB=2t，c=2t，则B（2t，t），丨BF₂丨=t，由勾股定理可知：丨BF₁丨=$\sqrt{（4t）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{17}$t，根据椭圆的定义可知丨BF₁丨+丨BF₂丨=2a，根据离心率公式，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设AD，BC的中点分别为F₁，F₂，由题意可知：矩形ABCD是以F₁，F₂为焦点的椭圆的内接矩形，
设AB=4t，CB=2t，c=2t，
则B（2t，t），
∴丨BF₂丨=t，丨BF₁丨=$\sqrt{（4t）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{17}$t，
由椭圆的定义可知：丨BF₁丨+丨BF₂丨=2a=（$\sqrt{17}$+1）t，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{4}{\sqrt{17}+1}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，
该椭圆的离心率$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆离心率公式的求法，考查数形结合思想，属于中档题．