Question

3．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
（1）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有公共焦点，且离心率为2的双曲线；
（2）中心在坐标原点，经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点的椭圆．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点（±4，0），$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，联立解得即可得出．
（2）依题意，可设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．
椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点（±4，0），$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，联立解得a=2，b=2$\sqrt{3}$．
即所求双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）依题意，可设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得b²=12，a²=16，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．