Question

13．设0＜a＜1，函数y=a^2x+2a^x-1在[-1，1]上的最大值是14，求a的值．

Answer 1

分析 利用换元法，通过二次函数的闭区间上的最大值，列出方程求解即可．

解答 解：令t=a^x（a＞0且a≠1），则原函数化为y=（t+1）²-2（t＞0）．
当0＜a＜1时，x∈[-1，1]，t=a^x∈[a，$\frac{1}{a}$]，---------（4分）
此时f（t）在[a，$\frac{1}{a}$]上为增函数．
所以f（t）_max=f（$\frac{1}{a}$）=（$\frac{1}{a}$+1）²-2=14．---（8分）
所以（$\frac{1}{a}$+1）²=16，所以a=-$\frac{1}{5}$或a=$\frac{1}{3}$．
又因为0＜a＜1，所以a=$\frac{1}{3}$．---------（12分）

点评 本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，二次函数的最值的求法，考查计算能力．