Question

19．已知函数f（x）=e^x．
（1）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求导数，可得切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=e^x-lnx-2，则$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，求出函数的最小值，即可证明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．

解答 解：（1）依题意，f'（x）=e^x，故f'（1）=e，故所求切线方程为y-e=e（x-1），即y=ex．
（2）设g（x）=e^x-lnx-2，则$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，
设$h（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，则$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，所以函数$h（x）=g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上单调递增．
因为$g'（{\frac{1}{2}}）={e^{\frac{1}{2}}}-2＜0，g'（1）=e-1＞0$，
所以函数$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有唯一零点x₀，且${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$．
因为g'（x₀）=0时，所以${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，即lnx₀=-x₀．
当x∈（0，x₀）时，g'（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，g'（x）＞0．
所以当x=x₀时，g（x）取得最小值g（x₀）．
故$g（x）≥g（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2＞0$．
综上可知，不等式f（x）＞lnx+2在（0，+∞）上恒成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，属于中档题．