Question

8．P为△OAB内一点，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则（x，y）有可能是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$
• B． （1，1）
• C． $（{\frac{1}{5}，\frac{2}{5}}）$
• D． $（{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合平面向量基本定理可知，若P为△ABC内一点，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则0＜x+y＜1，结合选项得答案．

解答 解：如图，
P为△OAB内一点，连接OP，并延长交AB于Q，
则$\overrightarrow{OQ}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，且m+n=1，又$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（0＜λ＜1），
$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=$λ（m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}）$，得x+y=λ（m+n）=λ．
∴0＜x+y＜1，
由选项可知，（x，y）有可能是（$\frac{1}{5}，\frac{2}{5}$）．
故选：C．

点评 本题考查平面向量基本定理及其意义，考查数学转化思想方法，是中档题．