Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[$\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦函数的单调性即可得出．
（II）函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]上为单调增函数，在区间[$\frac{3π}{8}$，$\frac{3π}{4}$]上为减函数，即可得出．

解答 解：（I）函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴$-\frac{π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
所以函数的单调增区间为：[$-\frac{π}{8}+kπ$，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]上为单调增函数，
在区间[$\frac{3π}{8}$，$\frac{3π}{4}$]上为减函数，
又f（$\frac{π}{8}$）=0，f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}$，f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$=-1．
故函数f（x）在区间[$\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}$]上的最小值为-1，最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．