Question

12．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，a₃=$\frac{1}{2}$•S₃=6．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：S₃=3a₂=12，求得a₂=4，由d=a₃-a₂得到公差，再求出首项，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，取倒数后利用裂项相消法求得$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，
由${a}_{3}=\frac{1}{2}•{S}_{3}=6$，得S₃=12，
由等差数列的性质可知：S₃=3a₂=12，解得：a₂=4，
∴d=a₃-a₂=6-4=2，则a₁=a₂-d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（1）可知S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．