Question

4．定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，
①f（x）为周期函数；      
②f（x）的图象关于x=1对称；      
③f（x）在[0，1]上为增函数；
④f（x）在[1，2]上为减函数；   
⑤f（2）=f（0）．
则上述说法正确的有①②⑤．

Answer 1

分析 由f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（-x），又有关系式f（x+1）=-f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[-1，0]上是增函数，推出单调区间即可．

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+1）=-[-f（x+1+1）]=f（x+2），
∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．
又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，
又∵f（x）为偶函数且在[-1，0]上是增函数，
∴f（x）在[0，1]上是减函数，
又∵对称轴为x=1．
∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），
故③④错误，⑤正确．
故答案应为①②⑤．

点评 本题考查了偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆，属于中档题．