Question

15．设点A（-2，0）和B（0，3），在直线l：x-y+1=0上找一点P，使|PA|+|PB|的取值最小，则这个最小值为$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 求出点B关于直线l：x-y+1=0的对称点为C，连结AC，则AC交直线l于点P，点P即为所求的点，此时，|PA|+|PB|=|PA|+|PC|，（|PA|+|PB|）_min=|AC|．

解答 解：设点B关于直线l：x-y+1=0的对称点为C（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+a}{2}-\frac{3+b}{2}+1=0}\\{\frac{b-3}{a-0}=-1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，∴C（2，1），
连结AC，则AC交直线l于点P，点P即为所求的点，
此时，|PA|+|PB|=|PA|+|PC|，
故（|PA|+|PB|）_min=|AC|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{17}$．
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题考查线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．