Question

5．（理科）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=$\sqrt{2}$，
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结PO，CO，依题意，可证PO⊥平面ABC，从而可证得平面PAB⊥平面ABCD；
（2）以O为原点，OC，OB，OP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求得C、A、B、P各点的坐标，从而可得：$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，1，1），设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可求得此坐标$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，1），而平面BAC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），设二面角P-AC-B大小为θ，由cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$可求得答案．

解答 解：（1）证明：取AB中点O，连结PO，CO，

由PA=PB=$\sqrt{2}$，AB=2，知△PAB为等腰直角三角形，
∴PO=1，PO⊥AB，由AB=BC=2，∠ABC=60°，知△ABC为等边三角形，
∴CO=$\sqrt{3}$，由PC=2得PO²+CO²=PC²，∴PO⊥CO，
又AB∩CO=O，∴PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）如图所示，以O为原点，OC，OB，OP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则C（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），A（0，-1，0）得：$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，1，1），设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，则x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，1），
平面BAC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-AC-B大小为θ，易知其为锐角，
所以cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}+1+1}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，着重考查面面垂直的判定与向量法求二面角，考查作图能力、推理证明能力与运算能力，属于难题．