Question

20．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，但当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+1}$-log₂（x+1），则满足4f（x+1）＞7的实数x的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-4，2）
• D． （-∞，-4）

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的解析式，再利用函数的单调性和奇偶性，结合f（-3）=$\frac{7}{4}$，求得x的范围．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，故函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．
设x＜0，则-x＞0，∵当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+1}$-log₂（x+1），
∴f（-x）=$\frac{1}{1-x}$-log₂（1-x）=-f（x），∴f（x）=$\frac{1}{x-1}$+log₂（1-x），
故有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}{-log}_{2}（x+1），x＞0}\\{0，x=0}\\{\frac{1}{x-1}{+log}_{2}（1-x），x＜0}\end{array}\right.$，它的单调性示意图如图所示：
故当x＞0时，f（x）＜1；当 x＜0时，f（x）＞-1．
∵f（3）=-$\frac{7}{4}$，∴f（-3）=$\frac{7}{4}$，
不等式4f（x+1）＞7，即 f（x+1）＞$\frac{7}{4}$=f（3），
若x+1＞0，f（x+1）＞$\frac{7}{4}$ 不可能；
若x+1＜0，则x+1＜-3，∴x＜-4，即实数x的取值范围为（-∞，-4），
故选：D．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，求函数的解析式，解不等式，属于中档题．