Question

8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1．
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ转化为直角坐标方程即可；
（2）直线l与x轴，y轴的交点为A（0，2），B（-2，0），化为极坐标，并求出|AB|的长，根据P在圆C上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，得圆C的普通方程（x+5）²+（y-3）²=2．
由$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1，得ρcosθ-ρsinθ=-2，
所以直线l的直角坐标方程为x-y+2=0．
（2）直线l与x轴，y轴的交点为A（0，2），B（-2，0），化为极坐标为A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），
设P点的坐标为（-5+$\sqrt{2}$cost，3+$\sqrt{2}$sint），
∴P点到直线l的距离为d=$\frac{|-5+\sqrt{2}cost-3-\sqrt{2}sint+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|-6+2cos（t+\frac{π}{4}）|}{\sqrt{2}}$
∴d_min=2$\sqrt{2}$，
∵|AB|=2$\sqrt{2}$，
则△PAB面积的最小值是S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．

点评 此题考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，熟练掌握参数方程与普通方程间的转换是解本题的关键．