Question

16．已知函数f（x）=a（x-1）lnx+1（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞x-alnx恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为axlnx+1-x＞0在（1，+∞）恒成立，令g（x）=axlnx+1-x，（x＞1），求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=alnx+a-$\frac{a}{x}$，f″（x）=$\frac{a（x+1）}{{x}^{2}}$，
a＞0时，f″（x）＞0，f′（x）在（0，+∞）递增，
又f′（1）=0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
a＜0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
a=0时，f（x）=1，是常函数；
（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞x-alnx恒成立，
即axlnx+1-x＞0在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=axlnx+1-x，（x＞1），
g′（x）=alnx+a-1，
a＞0时，g′（x）递增，g′（1）=a-1，又g′（1）=0，
∴g′（a）≥0，即a-1≥0，解得：a≥1，
a≤0时，x→+∞时，g（x）→-∞不成立，
∴a≥1．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．