Question

7．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x-$\frac{1}{2}$x²．
（Ⅰ）若点P是函数f（x）=lnx上任意一点，求点P到直线y=x+1的最小距离；
（Ⅱ）当x＞e时，求证函数f（x）=lnx的图象位g（x）=x-$\frac{1}{2}$x²图象的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设x-y+m=0与函数f（x）=nx的图象相切于点P（x₀，y₀）．求导，解得x₀．再利用点到直线的距离公式即可得出．
（II）构造新函数h（x）=f（x）-g（x），求出h（x）的导函数，判断出h′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，判断出h（x）递增，求出h（x）的最小值，判断出最小值大于0，判断出h（x）＞0，判断出f（x）＞g（x），得证．

解答 解：（Ⅰ）设x-y+m=0与函数f（x）=lnx的图象相切于点P（x₀，y₀）．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$=，
∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$=1，
∵x₀＞0，
解得x₀=1．
∴y₀=1，
∴点P（1，1）到直线y=x+1的距离为最小距离d=$\frac{|1-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+$\frac{1}{2}$x²，x＞e，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-1+x=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$＞0恒成立，
∴h（x）在（e，+∞）为增函数，
∴h（x）＞h（e）=lne-e+$\frac{1}{2}$e²=1-e+$\frac{1}{2}$e²=1+e（$\frac{1}{2}$e-1）＞0，
∴x＞e时，函数f（x）=lnx的图象位g（x）=x-$\frac{1}{2}$x²图象的上方

点评 考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，不等式常转化为求函数的最值，属于中档题