Question

19．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P，Q分别在BD，AD上，
则AP+PQ的最小值为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..

解答 解：设BE=x，则DE=3x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，
∴AE²=BE•DE，即AE²=3x²，∴AE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD²=AE²+DE²，即${6^2}={（\sqrt{3}x）^2}+{（3x）^2}$，解得x=$\sqrt{3}$，
∴AE=3，DE=$3\sqrt{3}$，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=$3\sqrt{3}$，
故选D．
    

点评 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．