Question

6．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上任意一点P（异于顶点）处的切线与该椭圆在长轴顶点A，B处的切线分别交于点M，N，该椭圆的左，右焦点分别是F₁，F₂，直线MF₁，NF₂的斜率分别是k₁，k₂．
（Ⅰ）求k₁•k₂的值；
（Ⅱ）求证：F₁，F₂，M，N四点共圆．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x₁，y₁），则直线MN的方程为：$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}$=1，且4y₁²=12-3x₁²，求出M（2，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），N（-2，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），由此能求出k₁•k₂的值．
（Ⅱ）连结MF₁，NF₂，交于点C，利用向量法求出∠MF₁N=∠MF₂N，又∠F₁CF₂=∠MCN，从而△F₁CN∽△F₂CM，进而△F₁ON∽△F₂OM，∠F₂F₁M=∠F₂NM，由此得到∠F₂F₁N+∠NMF₂=180°．从而能证明F₁，F₂，M，N四点共圆．

解答 解：（Ⅰ）设P（x₁，y₁），则直线MN的方程为：$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}$=1，
且4y₁²=12-3x₁²
由题意知直线BN：x=-2，直线AM：x=2，A（2，0），B-2，0），F₁（-1，0），F₂（1，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1}\\{x=2}\end{array}\right.$，得M（2，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1}\\{x=-2}\end{array}\right.$，得N（-2，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
∵直线MF₁，NF₂的斜率分别是k₁，k₂．
∴k₁=$\frac{\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}}{3}$=$\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，k₂=$\frac{\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{{2y}_{1}}}{-3}$=-$\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，
k₁•k₂=（$\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$）（-$\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4{{y}_{1}}^{2}}-\frac{1}{{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{12-3{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
证明：（Ⅱ）连结MF₁，NF₂，交于点C，
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），M（2，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），N（-2，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（3，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（-1，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（1，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（-3，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
∴cos＜$\overrightarrow{{F}_{1}N}，\overrightarrow{{F}_{1}M}$＞=$\frac{\overrightarrow{{F}_{1}N}•\overrightarrow{{F}_{1}M}}{|\overrightarrow{{F}_{1}N}|•|\overrightarrow{{F}_{1}M}|}$=$\frac{-3+\frac{9}{{{y}_{1}}^{2}}-\frac{9{{x}_{1}}^{2}}{4{{y}_{1}}^{2}}}{\sqrt{9+（\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}）^{2}}•\sqrt{9+（-\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}）}}$，
cos＜$\overrightarrow{{F}_{2}N}，\overrightarrow{{F}_{2}M}$＞=$\frac{\overrightarrow{{F}_{2}N}•\overrightarrow{{F}_{2}M}}{|\overrightarrow{{F}_{2}N}|•|\overrightarrow{{F}_{2}M}|}$=$\frac{-3+\frac{9}{{{y}_{1}}^{2}}-\frac{9{{x}_{1}}^{2}}{4{{y}_{1}}^{2}}}{\sqrt{9+（\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}）^{2}}•\sqrt{9+（-\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}）}}$，
∴∠MF₁N=∠MF₂N，又∠F₁CF₂=∠MCN，∴△F₁CN∽△F₂CM，
∴$\frac{O{F}_{2}}{O{F}_{1}}=\frac{OM}{ON}$，∴$\frac{O{F}_{2}}{OM}=\frac{O{F}_{1}}{ON}$，
又∠F₁ON=∠F₂OM，∴△F₁ON∽△F₂OM，∴∠F₂F₁M=∠F₂NM，
∴∠F₂F₁N+∠NMF₂=∠F₂F₁M+∠MF₁N+∠NMF₂=∠F₂NM+∠MF₂N+∠NMF₂=180°．
∴F₁，F₂，M，N四点共圆．

点评 本题考查两直线斜率乘积的求法，考查四点共圆的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、相似三角形、向量等知识点的合理运用．