Question

11．已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）若函数g（x）=f（$\sqrt{x}$）+ax+2在（e²，+∞）单调递减，求a的取值范围；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x₀=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出，
（2）先求导，再根据函数g（x）=f（$\sqrt{x}$）+ax+2在（e²，+∞）单调递减，得到g′（x）=1+a+$\frac{1}{x}$，分离参数，求出函数的最值即可．
（3）假设存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（不妨设0＜x₁＜x₂），使得AB存在“中值伴随切线”，则f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=k_AB，化简后，通过函数的导数，利用定义，推出结论矛盾，得到结果．

解答 解：（1）x∈（0，e）时，f（x）=x²+2（1-lnx），f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（{x}^{2}-1）}{x}$，
令f′（x）＞0得x∈（1，e）；f′（x）＜0得x∈（0，1）．
∴f′（x）在（0，1]上单减，在[1，e）上单增；
x∈[e，+∞）时，f（x）=x²+2（lnx-1），f′（x）=2x+$\frac{2}{x}$＞0对x∈[e，+∞）恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）单调递增．
故f（x）_min=f（1）=3．
（2）g（x）=f（$\sqrt{x}$）+ax+2=x+2（ln$\sqrt{x}$-1）+ax+2=x+lnx+ax，
∴g′（x）=1+a+$\frac{1}{x}$，
∵函数g（x）=f（$\sqrt{x}$）+ax+2在（e²，+∞）单调递减，
∴g′（x）=1+a+$\frac{1}{x}$≤0在（e²，+∞），
∴a≤-1-$\frac{1}{x}$，
∵y=-1-$\frac{1}{x}$在（e²，+∞）为增函数，
∴y＜-1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴a≤-1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故a的取值范围为（-∞，-1-$\frac{1}{{e}^{2}}$]
（3）当x≥e时，f（x）=x²+2（lnx-1），f′（x）=2x+$\frac{2}{x}$，假设函数f（x）存在“中值伴侣切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则y₁=x₁²+2（lnx₁-1），y₂=x₂²+2（lnx₂-1）．
故直线AB的斜率：k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{[{x}_{1}^{2}-2（ln{x}_{1}-1）]-[{x}_{2}^{2}-2（ln{x}_{2}-1）]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=（x₁+x₂）+2•$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率：
k=f′（x₀）=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=（x₁+x₂）+$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$．
依题意得（x₁+x₂）+2•$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=（x₁+x₂）+$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$．
 化简可得：$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，即ln $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
设$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），上式化为由lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
当t＞1时，lnt+$\frac{4}{t+1}$＞2恒成立．
∴在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+$\frac{4}{t+1}$=2成立．
综上所述，假设不成立．
∴函数f（x）不存在“中值伴侣切线

点评 本题考查函数的导数的综合应用，新定义以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．