Question

16．已知α，β都是锐角，sinα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=$\frac{5}{13}$．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sinβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出cosα，再由商的关系求得tanα的值；
（Ⅱ）由已知求出cos（α+β），再由sinβ=sin[（α+β）-α]，展开两角差的正弦求解．

解答 解：（Ⅰ）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}=\frac{3}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}=\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α+β∈（0，π），cos（α+β）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（α+β）=$\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}-\frac{5}{13}×\frac{4}{5}=\frac{16}{65}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查两角和与差的正弦，是基础的计算题．