Question

5．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t为参数），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程为普通方程，并写出C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）若C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃=$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$  （t为参数）距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程，再写出C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）根据椭圆的参数方程，设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题结论．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t为参数），
消去t，可得（x+4）²+（y-3）²=1，即x²+y²+8x-6y+24=0，
极坐标方程为ρ²+8ρcosθ-6ρsinθ+24=0；
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去θ，可得$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（Ⅱ））∵C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，
∴P（-4，4）．
∵Q为C₂上的动点，
∴设Q（8cosθ，3sinθ），
则M（$\frac{8cosθ-4}{2}$，$\frac{3sinθ+4}{2}$）
C₃=$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$  （t为参数），普通方程为x-2y-7=0，
d=$\frac{|4cosθ-2-3sinθ-4-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5cos（θ-ϕ）-13|}{\sqrt{5}}$，
∴PQ的中点M到直线x-2y-7=0的距离的最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用，属于中档题．