Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为$2\sqrt{2}$，且经过点（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S₁，S₂．求S₁S₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在椭圆C上，可得$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1$；又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为$2\sqrt{2}$，可得：$\frac{1}{2}×2a×2b$=2$\sqrt{2}$，联立解出即可得出．
（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则当t≠0时，$OM：y=\frac{t}{2}x$，${k_{AB}}=-\frac{2}{t}$，直线AB的方程为2x+ty-2=0（t≠0），与椭圆方程联立：（8+t²）x²-16x+8-2t²=0，利用根与系数的关系、弦长公式可得|AB|，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在椭圆C上，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1$，
又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为$2\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{2}×2a×2b=2\sqrt{2}，ab=\sqrt{2}$，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则当t≠0时，$OM：y=\frac{t}{2}x$，所以${k_{AB}}=-\frac{2}{t}$，
直线AB的方程为$y=-\frac{2}{t}（{x-1}）$，即2x+ty-2=0（t≠0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{t}（{x-1}）}\\{{x^2}+2{y^2}-2=0}\end{array}}\right.$得（8+t²）x²-16x+8-2t²=0，
则△=（-16）²-4（8+t²）（8-2t²）=8（t⁴+4t²）＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{16}{{8+{t^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{8-2{t^2}}}{{8+{t^2}}}$，$AB=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{△}}}{{8+{t^2}}}=\sqrt{1+\frac{4}{t^2}}×\frac{{2\sqrt{2}t\sqrt{{t^2}+4}}}{{8+{t^2}}}=\frac{{2\sqrt{2}（{{t^2}+4}）}}{{8+{t^2}}}$，
又$OM=\sqrt{{t^2}+4}$，∴${S_1}=\frac{1}{2}OM×AB=\frac{1}{2}\sqrt{{t^2}+4}×\frac{{2\sqrt{2}（{{t^2}+4}）}}{{8+{t^2}}}=\frac{{\sqrt{2}（{{t^2}+4}）\sqrt{{t^2}+4}}}{{8+{t^2}}}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{t}（{x-1}）}\\{y=\frac{t}{2}x}\end{array}}\right.$，得${X_N}=\frac{4}{{{t^2}+4}}$，∴${S_2}=\frac{1}{2}×1×\frac{4}{{{t^2}+4}}=\frac{2}{{{t^2}+4}}$，
∴${S_1}{S_2}=\frac{{\sqrt{2}（{{t^2}+4}）\sqrt{{t^2}+4}}}{{8+{t^2}}}×\frac{2}{{{t^2}+4}}=\frac{{2\sqrt{2}\sqrt{{t^2}+4}}}{{8+{t^2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{{t^2}+4}+\frac{4}{{\sqrt{{t^2}+4}}}}}＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
当t=0时，直线$l：x=1，AB=\sqrt{2}，{S_1}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2=\sqrt{2}，{S_2}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}，{S_1}{S_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴当t=0时，${（{{S_1}{S_2}}）_{max}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．