Question

18．已知函数$f（x）=2sinxcosx+\frac{cos2x}{2}+3{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再向下平移2个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上$[{-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换及化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再来一弄正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间上$[{-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}}]$的值域．

解答 解：（1）依题意，$f（x）=2sinxcosx+\frac{cos2x}{2}+3{sin^2}x+\frac{1}{2}=sin2x-cos2x+2=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）+2$，
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（{k∈Z}）$，则$\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{7π}{8}+kπ（{k∈Z}）$，
故函数f（x）的单调减区间为 $[{\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ}]（{k∈Z}）$．
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再向下平移2个单位，
得到函数g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]+2-2=）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象，
∵$-\frac{π}{6}≤x≤-\frac{π}{12}$，故$-\frac{π}{3}≤2x≤-\frac{π}{6}$；故$-\frac{π}{12}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{12}$，根据函数y=sinx的性质，
当$2x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{12}$时，函数g（x）取得的最小值$\sqrt{2}sin（{-\frac{π}{12}}）=\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}$；
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{12}$时，函数g（x）取得的最大值$\sqrt{2}sin\frac{π}{12}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，
故函数g（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}}]$上的值域为$[{\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}}]$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．