Question

9．已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线${l_2}：x=-\frac{p}{2}$，若抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义知：P到直线${l_2}：x=-\frac{p}{2}$的距离等等于P到焦点的距离，则P距离之和的最小值为点F到直线l₁的距离，利用点到直线的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；
（2）可设直线AB：x=-ky+m．代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式可知：$m=-\frac{{2{k^3}+2k+3}}{k}$．又AB与抛物线有两个不同的交点，故△=16k²+16m＞0．代入即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
由抛物线的定义知：P到直线${l_2}：x=-\frac{p}{2}$的距离等等于P到焦点的距离，
∴P到两直线的距离之和的最小值为点F到直线l₁的距离，
由点到直线的距离公式可知：$\frac{丨2p+6丨}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2，解得：p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），关于直线y=kx+3对称，
故可设直线AB：x=-ky+m．
$\left\{\begin{array}{l}{x=-ky+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²+4ky-4m=0．
由韦达定理可知：y₁+y₂=-4m，则${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=-2k$，
∴${x_0}=-k{y_0}+m=2{k^2}+m$．
∵点M（x₀，y₀）在y=kx+3上，则-2k=k（2k²+m）+3．即$m=-\frac{{2{k^3}+2k+3}}{k}$．
又AB与抛物线有两个不同的交点，故△=16k²+16m＞0．
将m代入上式得：$\frac{{k}^{3}+2k+3}{k}$，即k（k+1）（k²-k+3）＜0，
k²-k+3＞0恒成立，
∴解得：-1＜k＜0，
由故k的取值范围为（-1，0）．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及判别式的应用，考查计算能力，属于中档题．