Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
（1）求角A的值；
（2）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=$\sqrt{5}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可得出结论．
（2）由已知利用三角形面积公式可求bc的值，利用余弦定理可求b+c的值，即可得解．

解答 解：（1）由$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$，
利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
化为2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=2，
∵a=$\sqrt{5}$，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：5=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-6，
∴解得：b+c=$\sqrt{11}$，
∴△ABC的周长l=a+b+c=$\sqrt{5}$+$\sqrt{11}$．

点评 本题考查正弦定理，和角的正弦公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．