Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F$（-\sqrt{2}，0）$，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，M、N是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，直线OM与ON的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，问：是否存在定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？若存在，求出F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：c=$\sqrt{2}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=2，b²=a²-c²=2，即可求得椭圆标准方程；
（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x²+2y²20+4（x₁x₂+2y₁y₂），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x₁x₂+2y₁y₂=0，进而求得x²+2y²的值，利用椭圆的定义可推断出|PF₁|+|PF₂|为定值求得c，则两焦点坐标可得．

解答 解：（Ⅰ）椭圆椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，左焦点为F$（-\sqrt{2}，0）$，即c=$\sqrt{2}$，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=2，
b²=a²-c²=2，
∴椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，即（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M、N是椭圆上的点，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
∴x²+2y²=（x₁²+4x₂²+4x₁x₂）+2（y₁²+4y₂²+4y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂），
设k_0M，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k_0Mk_ON=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，
∴P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$上；
设该椭圆的左，右焦点为F₁，F₂，由椭圆的定义可推断出|PF₁|+|PF₂|为定值，
由c=$\sqrt{10}$，则这两个焦点坐标是（-$\sqrt{10}$，0）（$\sqrt{10}$，0）
存在定点F₁（-$\sqrt{10}$，0），F₂（$\sqrt{10}$，0），使得|PF₁|+|PF₂|为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量数量积的坐标运算，直线的斜率公式，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．