Question

17．在△ABC中，sin²A+sinAsinB=6sin²B．
（1）求$\frac{BC}{AC}$的值；
（2）若$cosC=\frac{3}{4}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得${（{\frac{sinA}{sinB}}）^2}+\frac{sinA}{sinB}-6=0$，解得$\frac{sinA}{sinB}=2$，利用正弦定理即可得解．
（2）由余弦定理及a=2b得5b²-c²=3b²，解得$c=\sqrt{2}b$，利用余弦定理可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．

解答 解：（1）∵sin²A+sinAsinB-6sin²B=0，
故${（{\frac{sinA}{sinB}}）^2}+\frac{sinA}{sinB}-6=0$，
解得$\frac{sinA}{sinB}=2$或-3（舍去）；
由正弦定理$\frac{BC}{AC}=\frac{sinA}{sinB}=2$．
（2）记角A、B、C的边分别为a、b、c，由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ab}=\frac{3}{4}$，
将$\frac{BC}{AC}=2$，即a=2b代入，得5b²-c²=3b²，解得$c=\sqrt{2}b$，
由余弦定理得，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{{（{2b}）}^2}+{{（{\sqrt{2}b}）}^2}-{b^2}}}{{2×2b×\sqrt{2}b}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{8}$，
则$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\frac{{\sqrt{14}}}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．