Question

5．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两焦点为F₁、F₂，斜率为K的直线过右焦点F₂，与椭圆交于A、B，与Y轴交于C，B为CF₂的中点，若|k|≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则椭圆离心率e的取值范围是[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，1）．

Answer 1

分析 设椭圆的右焦点为F₂ （c，0），则直线的方程可设为y=k（x-c），求得C（0，-kc），B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{kc}{2}$），又B为椭圆上的点，代入椭圆方程，由椭圆的性质，即可求得k²=$\frac{{e}^{4}-5{e}^{2}+4}{{e}^{2}}$，根据k的取值范围，即可求得离心率e的取值范围．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦点在x轴上，设椭圆的右焦点为F₂ （c，0），则直线的方程可设为y=k（x-c），
令x=0，得y=-kc，即C（0，-kc），
由于B为CF₂的中点，
∴B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{kc}{2}$），又B为椭圆上的点，
∴$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{k}^{2}{c}^{2}}{4{b}^{2}}=1$，由b²=a²-c²，
两边同除以a²，整理得：$\frac{{e}^{2}}{4}+\frac{{k}^{2}{e}^{2}}{4（1-{e}^{2}）}=1$，
解得：k²=$\frac{{e}^{4}-5{e}^{2}+4}{{e}^{2}}$，
∵|k|≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴k²≤$\frac{4}{5}$，即0≤$\frac{{e}^{4}-5{e}^{2}+4}{{e}^{2}}$≤$\frac{4}{5}$．又0＜e＜1，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤e＜1，
故答案为：[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．