Question

20．已知函数$f（x）=\frac{x+2}{x-2}$．
（1）在下列坐标系中作出函数f（x）的大致图象；
（2）将函数f（x）的图象向下平移一个单位得到函数g（x）的图象，点A是函数g（x）图象的上一点，B（4，-2），求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）因为$f（x）=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$，故把函数y=$\frac{4}{x-2}$的图象向上平移1个单位，可得函数$f（x）=\frac{x+2}{x-2}$的图象，如图所示．
（2）计算|AB|²=${[{（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）}]^2}-4[{（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）}]+16$，令$（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）=t$，可得|AB|²=t²-4t+16，利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：（1）因为$f（x）=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$，故把函数y=$\frac{4}{x-2}$的图象向上平移1个单位，
可得函数$f（x）=\frac{x+2}{x-2}$的图象，故函数$f（x）=\frac{x+2}{x-2}$的大致图象如图所示：

（2）依题意，函数$g（x）=\frac{4}{x-2}$，设$A（{{x_0}，\frac{4}{{{x_0}-2}}}）$，因为B（4，-2），
故${|{AB}|^2}={（{{x_0}-4}）^2}+{（{\frac{4}{{{x_0}-2}}+2}）^2}={（{{x_0}-2}）^2}-4（{{x_0}-2}）+4+{（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）^2}+\frac{16}{{{x_0}-2}}+4$=${[{（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）}]^2}-4[{（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）}]+16$，
令$（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）=t$，故|AB|²=t²-4t+16=（t-2）²+12≥12，当且仅当t=2时，
此时方程$（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）=2$有解，|AB|²取得最小值为12，故|AB|的最小值为$2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查函数的图象，二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题．