Question

15．设a，b，c为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
求证：a，b，c成等差数列的充要条件是：$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}b$．

Answer 1

分析 利用正弦定理以及二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简方程，通过正弦定理求证结果．

解答 证明：充分性：由$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}b$
⇒a（1+cosC）+c（1+cosA）
=a+c+acosC+ccosA=3b
⇒a+c=2b⇒即a，b，c成等差数列
必要性：因为上每步均可逆，可得证必要性．

点评 本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．