Question

10．假设学生在高中时数学成绩和物理成绩是线性相关的，若5个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x和物理成绩y（总分100分）如下：

学生	A	B	C	D	E
数学	80	75	70	65	60
物理	70	66	68	64	62

（1）试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程．
（2）若小红这次考试的数学成绩是52分，你估计她的物理成绩是多少分呢？供参考的数据：80×70+75×66+70×68+65×64+60×62=23190；80²+75²+70²+65²+60²=24750．

Answer 1

分析 （1）设物理成绩y与数学成绩x的线性回归方程为$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，求得样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），利用最小二乘法求得$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}）}$=0.36，将样本中心点代入即可求得$\widehat{a}$，求得线性回归方程；
（2）将x=52代入回归直线方程，得y=0.36×52+40.8=59.52，即可求得她的物理成绩．

解答 解：（1）设物理成绩y与数学成绩x的线性回归方程为$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，
由$\overline{x}$=$\frac{80+75+70+65+60}{5}$=70，…（2分）
$\overline{y}$=$\frac{70+68+66+64+62}{5}$=66，…（4分）
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}）}$=0.36，…（5分）
$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-0.36$\overline{x}$=40.8，
∴回归方程为$\widehat{y}$=0.36x+40.8，…（7分）
（2）将x=52代入回归直线方程，得y=0.36×52+40.8=59.52，
所以她的物理成绩59.52．…（10分）

点评 本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查计算能力，属于中档题．