Question

20．已知函数f（x）=x²+2ax+b，x∈[-1，1]．
（Ⅰ）用a，b表示f（x）的最大值M；
（Ⅱ）若b=a²，且f（x）的最大值不大于4，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=（x+a）²+b-a²关于直线x=-a对称．∴-a≤0时，M=f（1）=1+2a+b，当-a＞0时，M=f（-1）=1-2a+b．
（Ⅱ）当a≥0时，M=1+2a+a²≤4，当a＜0时，M=1-2a+a²≤4即可求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x+a）²+b-a²图角关于直线x=-a对称．
且增区间为[-a，+∞]，减区间为（-∞，-a]，又x∈[-1，1]…（3分）
∴-a≤0，即a≥0时，M=f（1）=1+2a+b
当-a＞0，a＜0时，M=f（-1）=1-2a+b
∴$M=\left\{\begin{array}{l}1+2a+b\;，\;\;a≥0\;，\;\;\\ 1-2a+b\;，\;\;a＜0.\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）当a≥0时，M=1+2a+a²≤4，a²+2a-3≤0，0≤a≤1．…（9分）
  当a＜0时，M=1-2a+a²≤4，a²-2a-3≤0，-1≤a≤0．…（11分）
∴-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．…（12分）

点评 本题考查了二次函数的动轴定区间的最直问题，关键是要结合图象及单调性，是基础题．