Question

8．已知在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，向量$\overrightarrow m=（a-b，sinA+sinC）$与向量$\overrightarrow n=（a-c，sin（A+C））$共线．
（1）求角C的值；
（2）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=-27$，求$|\overrightarrow{AB}|$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理，求得cosC的值，可得C的值．
（2）利用两个向量的数量积的定义求得|$\overrightarrow{CA}$||$\overrightarrow{CB}$|的值，利用$|\overrightarrow{AB}{|^2}=|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}{|^2}=|\overrightarrow{CB}{|^2}+|\overrightarrow{CA}{|^2}-2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$以及基本不等式，求得$|\overrightarrow{AB}|$的最小值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（a-b，sinA+sinC）$与向量$\overrightarrow n=（a-c，sin（A+C））$共线．
∴（a-b）•sin（A+C）=（a-c）（sinA+sinC），由正弦定理可得（a-b）•b=（a-c）（a+c），
∴c²=a²+b²-ab，∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，∵0＜C＜π，∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=-27$，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=27$，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|cosC=27$，∴$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|=54$，∵$|\overrightarrow{AB}{|^2}=|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}{|^2}=|\overrightarrow{CB}{|^2}+|\overrightarrow{CA}{|^2}-2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$，
∴$|\overrightarrow{AB}{|^2}≥2|\overrightarrow{CB}|•|\overrightarrow{CA}|-2×27=2×54-54=54$，∴$|\overrightarrow{AB}|≥3\sqrt{6}$，（当且仅当$|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CA}|=3\sqrt{6}$时，取“=”），
∴$|\overrightarrow{AB}|$的最小值为$3\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦定理、余弦定理，两个向量共线的性质，基本不等式的应用，属于中档题．