Question

17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=10，角C为锐角，且满足2a=4asinC-csinA，求c的值．

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，由$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=10=ba•cosC，求得 b，再利用余弦定理求得c的值．

解答 解：△ABC中，∵a=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=10，角C为锐角，且满足2a=4asinC-csinA，
由正弦定理可得asinC-csinA，∴2a=3asinC，∴sinC=$\frac{2}{3}$，∴cosC=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
又a=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=10=ba•cosC，∴b=6，
再利用余弦定理可得c=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}-2ab•cosC}$=$\sqrt{5+36-2•\sqrt{5}•6•\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\sqrt{21}$，
即c=$\sqrt{21}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．