Question

7．已知函数f（x）=2^x-2^-x，定义域为R，函数g（x）=2^x+1-2^2x，定义域为[-1，1]．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）若不等式f[g（x）]+f（-m²+2m+2）≤0对于一切x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由定义域为R，f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），可判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义，可判断出f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，再由不等式f[g（x）]+f（-m²+2m+2）≤0对于一切x∈[-1，1]恒成立等价转化为g（x）≤m²-2m-2对一切x∈[-1，1]恒成立，从而可求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）定义域为R且f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），
∴f（x）为奇函数…（4分）
（Ⅱ）在（-∞，+∞）上任取两个不等的实数x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，则
$\left.\begin{array}{l}{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）=（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{2}}）}\end{array}\right.$-$\left.\begin{array}{l}{（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{-{x}_{1}}）=（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）+[{（\frac{1}{2}）}^{{x}_{1}}-{（\frac{1}{2}）}^{{x}_{2}}]}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{\;}\\{=（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}）}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，
由于x₁＜x₂，所以${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0，1+\frac{1}{{{2^{x_1}}{2^{x_2}}}}＞0$，即f（x₂）＞f（x₁），
函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增…（6分）
由f（g（x））+f（-m²+2m+2）≤0，
得f（g（x））≤-f（-m²+2m+2），
即f（g（x））≤f（m²-2m-2），
又因为函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，所以g（x）≤m²-2m-2对一切x∈[-1，1]恒成立，
即（g（x））_max≤m²-2m-2，…．（8分）
g（x）=2^x+1-2^2x=-（2^x-1）²+1，
∵-1≤x≤1，∴$\frac{1}{2}$≤2^x≤2，
故g（x）=-（2^x-1）²+1≤1…（10分）
即g（x）_max=1，所以m²-2m-2≥1，所以m≥3或m≤-1…（12分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的判定与指数函数单调性的应用，突出考查函数与方程思想、等价转化思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．