Question

16．已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为Γ．斜率为k的直线l过点F₂，且与轨迹Γ相交于A，B两点．
（1）求轨迹Γ的方程；
（2）求斜率k的取值范围；
（3）在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点F₂怎样转动，总有MA⊥MB成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，由此能求出轨迹E的方程．
（2）双曲线渐近线的斜率为$±\sqrt{3}$，利用斜率为k的直线l过点F₂，且与轨迹Γ相交于A，B两点，即可求斜率k的取值范围；
（3）先假设存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设出M点坐标，根据数量级为0，求P点坐标，如能求出，则P存在，求不出，则P不存在．

解答 解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，
点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，
由c=2，2a=2，得b²=3，
故轨迹E的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（x≥1）．…（3分）
（2）双曲线渐近线的斜率为$±\sqrt{3}$，
∵斜率为k的直线l过点F₂，且与轨迹Γ相交于A，B两点，
∴k$＜-\sqrt{3}$或k$＞\sqrt{3}$；
（3）由（1）得点F₂为（2，0）
当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
将方程y=k（x-2）与双曲线方程联立消去y得：（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}$
假设双曲线C上存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设为M（m，n）
则$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+[k（x₁-2）-n][k（x₂-2）-n]
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+kn+m）（x₁+x₂）+m²+4k²+4kn+n²=$\frac{（{m}^{2}+{n}^{2}-4m-5）{k}^{2}-12nk-3（{m}^{2}+{n}^{2}-1）}{{k}^{2}-3}$=0，
故得：（m²+n²-4m-5）k²-12nk-3（m²+n²-1）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}-4m-5=0}\\{12n=0}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得m=-1，n=0
∴当点M为（-1，0）时，MA⊥MB恒成立；
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）知点M（-1，0）使得MA⊥MB也成立．
又因为点（-1，0）是双曲线C的左顶点，
所以双曲线C上存在定点M（-1，0），使MA⊥MB恒成立．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强，须认真审题．