Question

3．已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，则$PM+\frac{1}{2}PF$的最小值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知：双曲线的第二定义可知：$\frac{丨PF丨}{丨PN丨}$=e，可得丨PF丨=e丨PN丨=2丨PN丨，丨PN丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨，丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨=丨PM丨+丨PN丨，当且仅当M、N、P三点共线时丨PM丨+丨PN丨=丨MN丨时取最小值，代入求得P点坐标，即可求得丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值为丨MN丨=$\frac{7}{2}$．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$，焦点在x轴上，a=3，b=3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=6，
由双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=2，右准线为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{3}{2}$，
作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则
由双曲线的第二定义可知：$\frac{丨PF丨}{丨PN丨}$=e，可得丨PF丨=e丨PN丨=2丨PN丨，
∴丨PN丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨，
因此丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨=丨PM丨+丨PN丨，
当且仅当M、N、P三点共线时丨PM丨+丨PN丨=丨MN丨时取最小值，
此时，在双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$中，令y=3，解得：x=±2$\sqrt{3}$，
∴x＞0，
∴取x=2$\sqrt{3}$，
即当P的坐标为（2$\sqrt{3}$，3）时丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值为丨MN丨=$\frac{7}{2}$．
丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值为$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的第二定义的应用，考查计算能力，属于中档题