Question

3．若$\vec a，\vec b$满足|$\vec a|=1$，|$\vec b|=2$，且$（\vec a+\vec b）⊥\vec a$，则$\vec a$与$\vec b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$即可得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，进行数量积的运算即可得出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：根据条件，∵$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1+2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
且$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围．