Question

3．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{3}{2}$），左右焦点为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B，且|AB|=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$|F₁F₂|．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l：y=-x+m与椭圆E交于C、D两点，与以F₁、F₂为直径的圆交于M、N两点，且$\frac{{\sqrt{7}|CD|}}{|MN|}$=$\frac{36}{7}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆焦点在x轴上，将点（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，由$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$，c²=a²-b²，联立即可求得a和b的值，即可求得椭圆E的方程；
（2）圆心（0，0）到直线l的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$，所以|MN|=$2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$，将直线方程方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式可知：丨CD丨=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}\sqrt{21-3{m^2}}$，由$\frac{{\sqrt{7}|CD|}}{|MN|}=\frac{36}{7}$得$\sqrt{7}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{21-3{m^2}}}}{7}=\frac{36}{7}×2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$，整理即可求得m的值．

解答 解：（1）椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
∵椭圆E过点$（{1，\frac{3}{2}}）$，
∴将点（1，$\frac{3}{2}$），代入椭圆方程得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，①
由已知$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，
∴$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$，即a²+b²=7c²②
又∵c²=a²-b²③，
将①②③联立得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（5分）
（2）根据题意，以F₁、F₂为直径的圆方程为x²+y²=1，
所以圆心（0，0）到直线l的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$，所以|MN|=$2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$，…（7分）
设C（x₁，y₁），D（x₁，y₁），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，
化简得7x²-8mx+4m²-12=0，△=48（7-m²）＞0，
${x_1}+{x_2}=\frac{8m}{7}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{7}$…（9分）
由丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴$|CD|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（\frac{8m}{7}）}^2}-4×\frac{{4{m^2}-12}}{7}}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}\sqrt{21-3{m^2}}$，…（10分）
由$\frac{{\sqrt{7}|CD|}}{|MN|}=\frac{36}{7}$得$\sqrt{7}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{21-3{m^2}}}}{7}=\frac{36}{7}×2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$，
整理得${m^2}=\frac{1}{4}$，即$m=±\frac{1}{2}$，
经检验，当$m=±\frac{1}{2}$时，△=112（7-m²）＞0成立，
∴$m=±\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．