Question

18．2016年11月21日是附中建校76周年校庆日，为了了解在校同学们对附中的看法，学校进行了调查，从全校所有班级中任选三个班，统计同学们对附中的看法，情况如下表：

对附中的看法	非常好，附中推行素质教育，身心得以全面发展	很好，我的高中生活很快乐很充实
A班人数比例	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$
B班人数比例	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
C班人数比例	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

（1）从这三个班中各选一位同学，求恰好有2人认为附中“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；
（2）若在B班按所持态度分层抽样，抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记认为附中“非常好”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式即可得出．
（II）利用超几何分布列的计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）记这3位同学恰好有2人认为附中“非常好”的事件为A，
则P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×$$（1-\frac{3}{4}）$+$\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）$×$\frac{3}{4}$+$（1-\frac{1}{2}）×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{11}{24}$．
（Ⅱ）在B班按照相应比例选取9人，
则认为附中“非常好”的应选取6人，认为附中“很好”的应选取3人，则ξ=0，1，2，3，
且P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{3-k}{∁}_{3}^{k}}{{∁}_{9}^{3}}$（k=0，1，2，3）即可得出．P（ξ=0）=$\frac{1}{84}$，
P（ξ=1）=$\frac{3}{14}$，P（ξ=2）=$\frac{15}{28}$，P（ξ=3）=$\frac{5}{21}$．
则ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

则ξ的期望值为：Eξ=0×$\frac{1}{84}$+1×$\frac{3}{14}$+2×$\frac{15}{28}$+3×$\frac{5}{21}$=2．

点评 本题考查了相互独立事件与互斥事件的概率计算公式、超几何分布列的计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．