Question

7．过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当△AOB的面积为$\frac{9}{2}$时，求直线l的方程；
（2）当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线l斜截式方程y-1=k（x-2），结合直线与坐标轴的交点的求法、三角形的面积公式求得k的值即可；
（2）利用（1）中△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{k}$|×|1-2k|和不等式的性质进行解答．

解答 解：（1）设直线方程为y-1=k（x-2），
分别令x=0，y=0得A（1-2k，0），B（0，2-$\frac{1}{k}$），
故△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{k}$|×|1-2k|=$\frac{9}{2}$，
解得k=-1或k=-$\frac{1}{4}$，
故所求直线为x+y-3=0或x+4y-6=0；
（2）由（1）知S=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{k}$|×|1-2k|=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{1}{k}$）（1-2k）=2-2k-$\frac{1}{2k}$=2+（-2k-$\frac{1}{2k}$）≥2+2=4，
故S_min=4，此时k=-$\frac{1}{2}$，直线l的方程为x+2y-4=0．

点评 本题给出经过定点的直线，求满足特殊条件的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、基本不等式求最值等知识，属于中档题．