Question

已知函数f(x)=cos2x+3sinx-

1

8

-a
（1）求f（x）的最大值；
（2）若关于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范围；
（3）若x∈[0，

5π

4

]，关于x的方程f（x）=0有两解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简可得函数的解析式，由二次函数的知识可得f（x）的最大值；（2）整理可得a=-2（sinx-

3

4

）²+2，由二次函数区间的最值可得：当sinx=

3

4

，或-1时，分别可得a的最值；（3）换元法：令t=sinx∈[-

2

2

，1]，可得a=-2（t-

3

4

）²+2，由二次函数的知识可得结论．

解答：解：（1）化简可得f（x）=1-2sin²x+3sinx-

1

8

-a=-2（sinx-

3

4

）²+2-a，
又sinx∈[-1，1]，
由二次函数的知识可知：
当sinx=

3

4

时，f（x）取最大值2-a；
（2）由f（x）=0可得a=-2（sinx-

3

4

）²+2，
∵sinx∈[-1，1]，由二次函数的知识可得：
当sinx=

3

4

时，a=-2（sinx-

3

4

）²+2取最大值2，
当sinx=-1时，a=-2（sinx-

3

4

）²+2取最小值-

33

8

，
∴a的取值范围为[-

33

8

，2]；
（3）∵x∈[0，

5π

4

]，
∴t=sinx∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=0可化为-2（t-

3

4

）²+2-a=0，
即a=-2（t-

3

4

）²+2
由二次函数的知识可得：
t∈[-

2

2

，

3

4

]是，函数y=-2（t-

3

4

）²+2单调递增，
当t∈[

3

4

，1]，函数y=-2（t-

3

4

）²+2单调递减，
由对称性可知，当t=

3

4

时，函数y=-2（t-

3

4

）²+2取最大值2，
当t=1时，函数值y=

15

8

，
∴要使方程有两解，只需a∈[

15

8

，2]

点评：本题考查三角函数的化简运算，涉及二次函数区间的最值，属中档题．