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已知定点,动点,且满足
成等差数列.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若曲线的方程为,过点的直线与曲线相切,
求直线被曲线截得的线段长的最小值.

(1):(2).

解析试题分析:(1)利用题中的条件得到椭圆的定义,求出椭圆的实轴长与焦距,然后利用之间的关
系求出的值,从而确定点的轨迹的方程;(2)先设直线的方程为,利用直线与圆
相切,结合确定之间的等量关系,然后联立直线与椭圆的方程,求出交点的坐标,利用两点
间的距离公式求出弦长的表达式,利用换元法将弦长表达式进行化简,并利用函数单调性求出弦长的最小
值.
(1)由 ,
根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,
其长轴,焦距,短半轴,故的方程为.
(2)过点轴垂直的直线不与圆相切,故可设:
由直线与曲线相切得,化简得
,解得
联立,消去整理得
直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为
解方程可得

,则
考查函数的性质知在区间上是增函数,
所以时,取最大值,从而.
考点:1.椭圆的定义与方程;2.直线与圆的位置关系;3.直线与椭圆的位置关系;4.两点间的距离

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